函数的单调性及单调区间

【知识点简介】
    一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2
 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
    若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
【方法点评】
    判断函数的单调性,有四种方法:定义法;导数法;函数图象法;基本函数的单调性的应用;复合函数遵循“同增异减”;证明方法有定义法;导数法.
    单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结,只能用“和”或“,”连结.
设任意x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,那么
f(x1)−f(x2)
x1x2
>0
⇔f(x)在[a,b]上是增函数;
f(x1)−f(x2)
x1x2
<0
⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
   函数的单调区间,定义求解求解一般包括端点值,导数一般是开区间.
【命题预测】
    函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容,一般是压轴题,常与函数的导数相结合,课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看,函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏高;客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用,主观题在考查基本概念、重要方法的基础上,又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间,研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点,重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

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