5.5 三角恒等变换-人教A版高中数学必修 第一册（2019版）

* * * * * * * * * * 第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 课程目标 1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法． 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用． 数学学科素养 1.逻辑推理： 三角恒等式的证明； 2.数据分析：三角函数式的化简； 3.数学运算：三角函数式的求值.

第五章 三 角 函 数 学习目标 提出问题 前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和 （或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和 （或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题． 问题探究 １.两角差的余弦公式 如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系 典例解析 问题探究 上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ，

第五章 三 角 函 数 学习目标 提出问题 学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 ． 典例解析 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式．这是三角恒等变换的一个重要特点． 归纳总结 　这两个式子的左右两 边在结构形式上有什么 不同？ 　如果不用（１）的结 果，如何证明？ 归纳总结 例９ 求下列函数的周期，最大值和最小值： 　你能说说①这一步变 形的理由吗？ 分析:要求当角?取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分

* * 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课程目标 1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用; 2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题． 数学学科素养 1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题； 3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题. 4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。 自主预习，回答问题 阅读课本215-218页，思考并完成以下问题 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式是什么（共六组）？ 2. 二倍角公式是什么？升幂公式是？降幂公式是？

【新教材】5.5.2 简单的三角恒等变换 教学设计（人教A版） 它位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。作用体现在它的工具性上。前面学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养. 课程目标 1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法． 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用． 数

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.了解两角差的余弦公式的推导过程． 2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的 余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式． 3． 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式 的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的 变换的常用方法． 4.通过正切函数图像与性质的探究，培养学

第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》5.5.2节《简单的三角恒等变换》属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换，主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1．能用二倍

【新教材】5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学设计（人教A版） 本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的“源头”。两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。 课程目标 1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用; 2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题． 数学学科素养 1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题； 3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.

【新教材】5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（人教A版） 1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用; 2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题． 1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题； 3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题. 4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。 重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； 难点：求值过程中角的范围分析及角的变换. 预习导入 阅读课本215-218页，填写。 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝________________________

【新教材】5.5.2 简单的三角恒等变换 （人教A版） 1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法． 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用． 1.逻辑推理： 三角恒等式的证明； 2.数据分析：三角函数式的化简； 3.数学运算：三角函数式的求值. 重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用； 难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用. 预习导入 阅读课本225-226页，填写。 1．半角公式 2．辅助角公式

第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 1．能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用． 重点：能用二倍角公式导出半角公式及进行简单的应用． 难点：能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用． 1． 你能填写出下面我们学习了的公式吗？ ； ； 。 提出问题 学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 ． 例７　试以表示 , ,

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．了解两角差的余弦公式的推导过程． 2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式． 3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法． 重点：了解两角差的余弦公式的推导过程． 难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝__________________ α，β∈R 两角和的余弦公式

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （用时45分钟） 【选题明细表】 知识点、方法 题号 给角求值 1,6,8 给值求值 2,5,7,10 给值求角 4,13 二倍角公式 3,11 综合运用 9,12,14 基础巩固 1．的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D

5.5.2 简单的三角恒等变换 （用时45分钟） 基础巩固 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则化简的结果是（ ） A． B． C． D． 3．设是第二象限角，，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的最小正周期和最大值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 6．若，则__________． 7．化简：. 8．求证：. 能力提升

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 选择题 1．（2019·陕西高一期末）式子的值为（ ） A． B．0 C．1 D． 2．（2019·全国高一单元测）若,,则（ ） A． B． C． D． 3．（2019·山东师范大学附中高一期中）若均为第二象限角，满足 ，则（ ） A． B． C． D． 4．（2019·重庆高一单元测试）已知，，则（ ） A． B．7 C． D．-7 5．（2019·甘肃高一单元测试）( ) A． B． C． D． 6．（2017·全国高二单元测试）在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( ) A．－ B． C． D．－ 二、填空题 7．（2019上海大学附中学高一期中）化简：=_______

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 选择题 1．（2019·陕西高一期末）式子的值为（ ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】两角和余弦，得，选B. 2．（2019·全国高一单元测）若,,则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】故选 3．（2019·山东师范大学附中高一期中）若均为第二象限角，满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵sinα，cosβ，α、β均为第二象限角， ∴cosα， sinβ， ∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ?（），故答案为B 4．（2019·重庆高一单元测试）已知，，则（ ）

5.5.2 简单的三角恒等变换 （用时45分钟） 【选题明细表】 知识点、方法 题号 公式运用 1,2,3,4,5 化简求值证明 6,7,8,9,10 综合运用 11,12 基础巩固 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由及，故．故选D． 2．若，则化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C